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Wednesday, February 21, 2018

代數:年齡問題

問題:「五年前小明的年齡是哥哥的1/3,現在小明的年齡是哥哥的1/2,請問小明現在幾歲?」

解法:
假設小名現在x歲,哥哥為y歲。

五年前小明的年齡是哥哥的1/3 ==> 可列出底下式子(1):\[\Large x - 5 = \frac{y}{3} \]

現在小明的年齡是哥哥的1/2 ==> 可列出底下式子(2):\[\Large x = \frac{y}{2} \]

將式子(2)帶入式子(1)得到式子(3):\[\Large\frac{y}{2} - 5 = \frac{y}{3} \]

式子(3)可得到\[\Large y = 20 \]

帶入式子(2)得到\[\Large x = 10 \]

所以小名現在為十歲。

Saturday, February 10, 2018

棋盤擺放問題


西洋棋是個8x8的棋盤,總共有64個格子,若要在這個棋盤上放上任意數量的城堡並且符合下面三個條件之城堡最多個數為何?

  1. 一行最多只能有4個城堡同時存在。
  2. 一列最多只能有4個城堡同時存在。
  3. 對角線最多只能有4個城堡同時存在。

此三點請參考下面的圖形說明:






答案是能放32個城堡。

那麼城堡要怎麼擺才能放到32個?底下為筆者想出來的答案:



那麼還有其他的解法嗎?

本文的棋盤圖檔事由此網址https://lichess.org/editor所產生。

排列組合問題

筆者最近在 brilliant.org 解 Reframing Problems for the AMC 時,看到有一個解題方法,筆者以自己理解的方式詮釋一次。

題目:有五顆相同的籃球要分給三個不同的隊伍,請問有幾種分法?
解法一「個別列出」
假設三個隊伍的名稱為A、B、C,在不考慮排列的情況下,有底下幾種分法(由大到小來組合):
5 0 0 --> 組合一
4 1 0 --> 組合二
3 2 0 --> 組合三
3 1 1 --> 組合四
2 2 1 --> 組合五

加上排列後,
5 0 0 --> 組合一 ==> 3種排列方式
4 1 0 --> 組合二 ==> 6種排列方式
3 2 0 --> 組合三 ==> 6種排列方式
3 1 1 --> 組合四 ==> 3種排列方式
2 2 1 --> 組合五 ==> 3種排列方式
所以總共有 3 + 6 + 6 + 3 + 3 總分法。

解法二『轉換成組合問題』
這方法是將原本的排列組合問題變成排列問題,請先看下圖:
上圖中圓形代表球,長方形代表分割的地方,由上往下分別對應組合一、組合二、組合三、組合四、組合五。由此圖可以看出,原本的問題可以變成組合問題:【從七個相同的東西選兩個出來,有幾種選法?】答案就變成
 \[\binom{7}{2} = 21\]

那原本的問題有沒有變得容易算出呢?

練習題
有十顆相同的糖果要分給四個不同的小朋友時,請問有幾種分法?
 \[\binom{13}{3} = 286\]

參考資料:
[1] https://brilliant.org/practice/reframing-problems-for-the-amc/?p=6

Saturday, December 23, 2017

從繪圖中來學數學

最近筆者在網路上看到一篇文章:【太狂了!神人靠算式畫出米奇、小叮噹...媽媽說把數學學好果然是對的!】文中提到一位愛好數學的日本人展示如何使用數學式子來畫出麵包超人、米奇、小叮噹,除此之外還可以呈現動畫的效果。

麵包超人範例網址:https://www.desmos.com/calculator/ssntlymwp5


筆者一時好奇,就找到 https://www.desmos.com/,此網站上有好多的Demo啊!於是忍不住寫了網誌來做筆記了 :-)


Monday, March 20, 2017

語文用的賓果遊戲

根據 Games for Education - Making BINGO cards using a spreadsheet 這篇文章,我們可以製作出英語單字的賓果遊戲卡,當然也可以製作出中文或其他語言用的賓果遊戲卡。不過,筆者想的是用賓果造句的玩法,首先從動詞 、形容詞、名詞、副詞、代名詞各選五個
例如:
動詞 run eat jump are kick
形容詞 fat white beautiful tall lonely
名詞 time money car Facebook August
副詞 always above aloud enough finally
代名詞 anybody everyone they that who

然後從這25個單字任意填到賓果卡的25格子內,例如:
eatthateveryonetallfinally
whitejumpbeautifulwhoare
fatrunenoughkickAugust
caraboveFacebookanybodytime
alwaysmoneyaloudtheylonely

每位玩家填好後,輪流依序念出自己所選的單字,然後有五條連線的人獲勝,獲勝的人就請輸家來造句,例如有一條連線如下:
fat        run   enough     kick      August

這條連線能造出什麼句子呢(先不用管文法和語意,這留後續討論,先開心娛樂啊!)?
August kick fat enough!  八月踢肥踢到夠!
August run fat enough!  八月跑肥跑到夠!

以上玩法也可在別的語言,如中文、日文等玩玩喔。

Monday, February 20, 2017

整數運算的賓果遊戲

本遊戲的構想是從【課堂上的數學之遊戲三點搶連線】所激發出來的。只不過在下是用電腦上的 Excel 試算表與 Scratch 程式來玩此遊戲。

首先請學生們用Excel製作如下的賓果表(注意,製作此表需要用到Excel的一些技巧,本文不提。):


接著可由老師主導(或請學生輪流)用Scratch擲骰子的程式(https://scratch.mit.edu/projects/146166954/)


此Scratch程式會丟出一個介於 1 ~ 6 的正數(a)與 -1 ~ -6 的負數(b),之後請每位學生自己算出:

  1. a + b
  2. a - b
  3. b - a
這三個值(),接著在 Excel 對應的數字改變背景的顏色(任意顏色)。

比比看誰會最先賓果連線成功。

Thursday, February 9, 2017

裂项求和(Telescoping Series Sum)

求下列式子的值:
\[\frac{1}{4\cdot10}+\frac{1}{10\cdot16}+\frac{1}{16\cdot22}+\frac{1}{22\cdot28}+\frac{1}{28\cdot34} . \]

原式可重寫成:
\[\frac {1}{6}(\frac {1}{4}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{22}+\frac{1}{22}-\frac{1}{28}+\frac{1}{28}-\frac{1}{34})\]

所以答案為 \( \frac {5}{136} \)。


練習題
求下列式子的值:
\[ \frac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{7}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \frac{81}{40 \cdot 41 \cdot 42} = ?\]

答案:\( \frac{ 345} { 287 } \)。